1.  경계층에서의 일반적 흐름 형태

 

   경계층이란 어떤 물체의 경계면에 인접한 지역으로서 경계면에 의하여 발생하는 전단 저항때문에 유체의 유속이 변화하는 영역을 지칭한다.  여기서는 수식의 표현을 간단하게 만들기 위하여 시간에 무관한 2차원 공간의 영역을 생각해보고자 한다.  이 경우에서의 연속방정식과 Navier-Stocke방정식은 다음과 같이 표현할 수 있다.

 

 

(1)

 

 

(2)

 

 

(3)

 

   이 때 경계면의 방향이 x-축이라고 본다면 식(3)은 식(2)에 비하여 무시할 수 있을만 큼 작은 영향을 주며, 결국 다음의 식으로 간단하게 생각해 볼 수 있다.

 

 

(4)

 

   여기서 베르누이 방정식을 적용시키면 압력의 항을 변경하여 다음 식을 얻는다.

 

 

(5)

 

는 경계층 외부의 흐름에서의 속도를 의미하며, 일반적으로 유선을 따라 흐르는 포텐셜흐름을 의미한다.

   식(5)에서 를 연속방정식을 사용하면 다음과 같이 변경할 수 있다.

 

 

(6)

 

이 식은 를 변수로 가지는 편미분 방정식이 된다.  각 항을 0~∞구간에서 y로 적분하고 정리하면 다음과 같이 표현할 수 있다.  x에 대한 편미분은 y의 적분에 의하여 전미분이 되며, y→∞에서는 로 쓸 수 있다는 것을 참고하도록 한다.

 

 

 

 

 

 

 

 

(7)

 

이 식을 정리하고 양 변에 밀도를 곱하면 다음과 같은 결과식을 얻게 된다.

 

 

(8)

 

특히 식의 왼쪽 항은 표면에서의 전단응력로 생각할 수 있다.  이 식은 경계층 해의 많은 근사적인 표현을 검사하고 정당화 시키는데 사용되는 경우가 많다.

 

 

 

 

  2.  평판 위를 흐르는 층류의 경계층

 

 

   위 그림은 넓이가 무한한 평판위를 흐르는 층류에 대한 경계층을 표시한 그림이다.  일반적으로 경계층 두께 δ(x)는 자유흐름속도 v의 99%가 되는 지점으로 정의한다.  x=0에서 경계층은 나타나기 시작하고 x가 증가함에 따라 경계층의 두께도 증가하게 되지만 무한히 증가하지는 않는다.

   여기서는 자유속도 v가 시간의 흐름과 x의 증가에 대해서 변하지 않는 상수로 가정할 것이다.  그러면 식(5)는 다음과 같이 간단히 쓸 수 있다.

 

 

(9)

 

위 그림을 참고하면 다음과 같은 경계조건이 성립함을 알 수 있다.

 

 B.C 1 :

(10)

 

 B.C 2 :

(11)

 

 B.C 3 :

(12)

 

 B.C 4 :

(13)

 

   이 문제를 접근하기 위하여 다음과 같은 무차원 수를 도입하여 정리해 보도록 한다.

 

 

(14)

 

식(14)의 관계를 식(9)에 적용시키기 위하여 각각의 항을 표현하면 다음과 같이 쓸 수 있다.

 

 

                

(15)

 

 

(16)

 

 

           

(17)

 

 

                  

(18)

 

 

                        

(19)

 

식(15)~(19)를 식(9)에 대입하고 정리하면 다음과 같은 미분방정식을 얻을 수 있다.

 

 

(20)

 

식(20)에 대응하는 경계조건은 다음과 같이 변경이 된다.

 

 B.C. 1 & 2 :

(21)

 

 B.C. 3 & 4 :

                       

(22)

 

 

 

 

 

(1)

 

 

(1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

|  복영근(Pock. young-keun)  |  www.peaceone.net  |  dreamer@peaceone.net  |

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