(1)

 

   식(1)은 임의 시간동안에 주어진 부피에 대하여 에너지 보존법칙을 간략하게 표현한 관계이다.  여기에 나타낸 하나하나의 인자들을 이제부터 구체적으로 표현한 후 마지막에서 종합하여 전체 관계식을 구하게 될 것이다.  참고로 Rate는 어떤 물리적 양을 시간의 변화로 표현한 비율을 말한다.

 

 

 

 

  1.  내부에너지 및 운동에너지의 축적된 총 에너지 Rate

 

 

(2)

 

 

 

  2.  대류에 의한 내부에너지 및 운동에너지의 Rate 변화

 

 

    

 

 

(3)

 

  

 

  3.  전도에 의한 에너지의 Rate

 

 

(4)

 

  

 

  4.  System에 의하여 행해진 에너지 Rate

 

 

(5)

 

 

 

(6)

 

 

 

    

 

 

(7)

 

 

 

 

  5.  종합적 결과

 

   지금까지 얻어진 식(2)~(7)을 식(1)에 대입하고 양 변을 로 나누어 정리하면 다음과 같이 종합해 볼 수 있다.

 

 

  

:  대류에 의한 단위체적 당 에너지 Rate

(8)

단위체적당 총 에너지 Rate

  

:  전도에 의한 단위체적 당 에너지 Rate

 

  

:  중력에 의한 단위체적 당 유체상에 행해진 에너지의 Rate

 

  

:  압력에 의한 단위체적 당 유체상에 행해진 에너지의 Rate

 

  

:  점성력에 의한 단위체적 당 유체상에 행해진 에너지의 Rate

 

식(8)를 대류에 의한 항을 풀어 정리하고 전미분의 개념을 도입하면 다음과 같이 쓸 수 있다.  이 과정에서 유동방정식의 정의가 사용된다.

 

 

(9)

 

더 나아가 중력포텐셜의 개념을 도입하고 중력포텐셜이 시간의 변화에 무관하다면 다음과 같이 쓸 수도 있다.

 

 

(10)

 

여기서 중력포텐셜은 다음과 같이 정의된다.

 

 

(11)

 

 

 

 

  6.  역학적 에너지와 열적 에너지의 분류

 

   식(1)에 설정한 에너지 보존과정은 엄밀히 말하면 열적 효과만을 나타내는 것은 아니며, 역학적 에너지의 변화까지도 내포하게 된다.  여기서 유도하고자 하는 것은 열전달에 의한 효과만을 원하고 있기 때문에, 식(8)~(10)에서 역학적 에너지에 관계된 항을 걸러내야 할 필요가 있다.

   운동량전달의 관계식을 유도하는 과정에서 역학적 에너지에 관한 표현은 다음과 같이 표현된다.

 

 

(12)

 

식(12)를 식(9)에 대입시키면 다음과 같은 열 에너지 관계식(equation of thermal energy)을 구할 수 있다.

 

 

  

:  전도에 의한 단위체적당 내부에너지 Rate

(13)

단위체적당 총 내부에너지의 Rate

  

:  압력에 의한 단위체적당 내부에너지의 가역적 Rate

 

  

:  점성력에 의한 단위체적당 내부에너지의 비가역적 Rate

 

 

 

 

  7.  온도의 항으로 표현한 열 에너지 관계식

 

   열전달의 전달 매개는 온도로 표현된다.  따라서 열에너지의 관계식을 온도의 항으로 표현된다면 매우 편리하게 사용할 수 있다.  식(13)에서 내부에너지의 항을 열역학적 관계식을 사용하여 온도의 항으로 변환시킬 수 있다.  열역학적 평형관계식을 적용시키면 내부에너지의 변화는 다음과 같이 표현된다.

 

 

(14)

 

식(14)를 확장하여 전미분으로 표현하면 다음과 같다.

 

 

(15)

 

여기서 다음과 같은 연속방정식을 적용시켰다.

 

 

(16)

 

식(15)를 식(13)에 적용시키면 다음과 같이 온도의 함수로 표현되는 에너지 관계식을 얻는다.

 

 

(17)

 

 

 

  8.  여러 조건에서의 에너지 관계식 표현

 

   식(17)은 여러 상황에서 조건에 따라 간략화 될 수 있다.  여기서는 주로 많이 사용되는 상황을 몇가지로 살펴보도록 하겠다.  

 

 

(18)

 

식(18)에서 는 소멸함수(dissipation function)이며, 직교좌표에서는 다음과 같이 정의된다.

 

 

  

                                    

(19)

 

 

 

 

(18)

 

 

 

 

(19)

 

 

 

(20)

 

 

 

 

 

(21)

 

 

 

 

|  복영근(Pock. young-keun)  |  www.peaceone.net  |  dreamer@peaceone.net  |

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