연속방정식이라는 의미는 유체의 흐름을 설명하는 과정에서 연속체를 가정하기 위하여 도입된 하나의 아이디어라고 생각하면 된다.  따라서 흐름 자체를 하나의 연속적인 과정에서 해석할 수 있기에 미세영역의 특성을 해석함으로 전체시스템을 설명할 수 있게 된다.  이러한 연속방정식은 근본적으로 질량보존의 관계에서 유도할 수 있다.

   유체흐름의 질량보존관계식은 다음과 같이 표현할 수 있다.

 

 

(1)

 

 이 관계를 개략적으로 표현하면 다음과 같다.

 

 

(2)

 

   식(1)과 (2)를 보면 알겠지만, 실제로 연속방정식은 질량보존의 식과 동일한 관점으로 유도될 수 있다.  여기서 우리가 유도하고자 하는 것은 질량보존의 식을 미분의 형태로 표현하고자 하는 것 뿐이다.  이러한 과정을 다음 그림에서 직관적으로 나타내었다.  여기서는 x 좌표에 대한 흐름만을 표기하였다.

 

 

 

   위 그림에서 대상부피 내의 질량은 이고, 따라서 대상부피 내의 시간에 대한 질량 변화율은  바로 질량이 축적되는 속도이며, 다음과 같이 표현할 수 있다.

 

 

(3)

 

한편, 일반적으로 밀도는 위치에 따라 변한다는 점을 유의하면, 각 방향으로 들어가고 나가는 질량의 rate를 다음과 같이 종합할 수 있다.

 

 

(4)

 

   식(3)과 식(4)를 개념식(2)에 대입하고 양 변을 로 나누어주면 다음과 같다.

 

 

(5)

 

식(5)는 바로 직교좌표에서의 연속방정식 기본 개념이다.  이 식을 더욱 일반화하기 위하여 다음과 같이 좌표계에 무관한 벡터형으로 표현할 수 있다.

 

 

(6)

 

   실제 유체는 시간에 대한 미분이 이동에 대한 개념이므로, 일반적으로 전미분으로 표현하는 것이 일반적이다.  특정량에 대한 전미분의 정의는 다음과 같이 표현할 수 있다.

 

 

(7)

 

연속방정식을 전미분의 형태로 전환하기 위하여 식(5)를 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.

 

 

(8)

 

식(8)에 전미분의 개념을 적용시키면 결과적으로 다음 식을 얻는다.

 

 

(9)

 

   연속방정식의 매우 중요한 한가지 특별한 경우로서 비압축성 유체의 경우가 있다.  이 때는 밀도의 미분영향이 없으므로 식(9)는 다음과 같다.

 

 

(10)

 

 

 

 

  주요 좌표계에서의 연속방정식

 

직교좌표계(rectangular coodinates : x, y, z)

 

(11)

 

 

원통좌표계(cylindrical coodinates : r, θ, z)

 

(12)

 

 

구좌표계(spherical coodinates : r, θ, φ)

 

(13)

 

 

 

 

|  복영근(Pock. young-keun)  |  www.peaceone.net  |  dreamer@peaceone.net  |

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