질량보존의 법칙은 자연의 기본 원리로서 잘 알려진 법칙 중 하나이다.  즉 어떠한 물리적 과정을 거치게 될 때, 과정 전과 후의 총 질량이 변하지 않다는 원리이다.  이 법칙을 유체 흐름에 적용시키면 매우 유용하게 사용할 수 있는 관계식을 얻을 수 있게 된다.  우리가 관심을 가지는 대상부피에 대한 질량보존의 개략적 표현은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

이 관계를 잘 살펴보면 매우 당연한 표현이다.  즉, 질량의 유출과 유입의 차이가 바로 대상부피 내의 질량 축적량을 의미하는 것이다.  이 관계를 수식으로 표현하기 위하여 다음의 간단한 모형을 생각해 볼 수 있다.

   이 모형은 어느 특정 시간에 형성되는 유선을 표현하였다.  dA는 대상부피 표면의 미세면적이고, v는 유선방향의 속도벡터, n는 dA의 법선벡터이다.  당연히 θ는 v와 n의 차이각이다.  따라서 dA로 통과되는 질량의 유출속도는 가 된다.  여기서 를 질량플럭스(mass flux)라고 하며 단위시간당 및 단위면적을 통과하는 질량을 의미한다.  이러한 질량의 유출속도를 벡터 표현으로 바꾸면 다음과 같이 나타낼 수 있다.

이 값을 전체 대상표면에 대하여 적분을 하면 총 대상면적을 통과하는 질량의 순유출량을 알 수 있다.  이 값은 윗 식을 적분하면 얻게 된다.

이 값이 양수이면 질량의 순유출이 일어나며, 반대로 음수이면 순유입이 된다.  또한 0이면 대상부피 내의 질량은 항상 정량을 유지하게 된다.

   한편, 질량 축적속도는 결국 시간에 대한 밀도변화이므로 다음과 같이 표현할 수 있다.

결과적으로 질량보존의 최종 관계식은 식(3)과 (4)를 식(1)에 적용시켜서 다음의 적분형 물질수지식을 얻게 된다.

|  복영근(Pock. young-keun)  |  www.peaceone.net  |  dreamer@peaceone.net  |

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